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      两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角统称为空间角，空间角是立体几何的核心概念，非常重要.人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》（以下统称“教材”）首先在“点、直线、平面之间的位置关系”（教材必修2）中介绍三种空间角的定义，以及用传统作角、证角的逻辑推理方法求解空间角，而后在“空间向量与立体几何”（教材选修2-1）中进一步学习向量解法.实际教学表明，由于空间向量这个有力工具的引入，导致学生传统的立体几何推理证明能力有所削弱，很多高三的学生基本上只会单纯用向量法处理立体几何问题，对于需要结合传统的几何推理才能解决的综合性问题，则往往无法解决，实在令人惋惜.

      立体几何在发展直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养中不可或缺.虽然空间向量能降低思维的难度，能将抽象的逻辑思维转化为具体的计算，且对解决一些用传统作角、证角的方法较难处理的复杂空间角问题优势明显，但是综观近几年高考，很多立体几何的客观题或主观题的处理方法都表现出传统推理证明的优势，空间向量也只是作为一种有效的辅助工具.由此可见，高考对立体几何的考查从未降低逻辑推理的要求，其命题方向更侧重于用传统方法证明空间平行、垂直关系，以及用传统作角、证角的逻辑推理求空间角.

      笔者认为，传统立体几何的发生、发展先于空间向量，且逻辑推理是学生所必需的核心素养.因此，重视对“点、直线、平面之间的位置关系”的教学很有必要，同时要充分挖掘其在发展学生抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力等方面的教育价值，进而提升学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养.下面，笔者以空间角专题复习为例，谈谈如何开展探究性教学，以促进学生深度学习，落实核心素养.

      一、教学过程

      （一）温故知新，凸显概念本质

      问题1：大家回顾三种空间角的定义及其平面角的作法.如图1，给定二面角α-l-β，试作出直线AB与平面β所成的角，以及二面角α-l-β的平面角.

      

      活动：学生思考作图，如图2和图3所示.

      

      为了便于建立空间角之间的联系，教师引导学生过点A作出该二面角的平面角.如图4，作AO⊥l于点O，在平面β内作OE⊥l，则∠AOE即为所求的角.

      

      【设计意图】回归概念本质，使学生的思维退回到最基本、最重要的地方.通过画图帮助学生对相关概念进行复习，提高学生将文字语言转换为图形语言的能力，引领学生体会空间角求解的转化思想，为下面的探究活动奠定思维基础.

      追问：除了根据定义作二面角的平面角，是否还有其他作法？

      教师在必要的时候适当提醒，学生交流、讨论，得出如下作法.

      如图5，作AO⊥l于点O，作AH⊥β于点H，连接OH，则∠AOH即为所求.

      

      问题2：试给出图5作法的证明并体会其优越性.学生思考，并书写证明过程（略）.

      【设计意图】作二面角的平面角是学习中的难点.学生最开始只能利用“定义法”（如图3、图4），教师追问、启发，学生得到了更有利于计算的“三垂线法”（如图5）.学生根据直线与平面垂直的判定与性质进行证明，体会到“三垂线法”本质上与“定义法”是一致的，通过推理证明、总结归纳，很好地培养了学生逻辑推理、数学抽象等核心素养.

      （二）拓展探究，挖掘概念内涵

      问题3：如图6，在二面角α-l-β中，AO⊥l于点O，AH⊥β于点H.试探究∠ABH，∠ABO，∠AOH，∠HBO之间的关系.

      

      学生推理，教师提炼.

      

      结论1：因为AH≤AO，所以∠ABH≤∠ABO.

      即一条直线与一个平面所成的角是这条直线与平面内任意直线所成的角中最小的角.

      结论2：因为AO≤AB，所以∠ABH≤∠AOH.

      即二面角一个平面内任意的一条直线与另一个平面所成的角的大小不超过该二面角的大小.

      结论3：sin∠ABH=sin∠ABOsin∠AOH.

      这个式子揭示了三种空间角的一个等量关系.也包含了结论1和结论2.