[中图分类号]K245 [文献标识码]A [文章编号]1000-422x(2014)01-0039-11 宋本《杨辉算法》(1274-1275)早已不存，元代所流传下来的《杨辉算法》，今见多为残本。现流行本实为李迪先生在1985年得到由日本川原秀城所赠影印足本明洪武戊午本《杨辉算法》，亦即关孝和抄录本。从内容上看，杨辉算书可分为理论数学与日用算术两个组成部分，其中它在“贾宪——杨辉三角”、“纵横图”及高阶级数的研究等理论数学方面，所取得的成就代表着当时世界数学的巅峰。然而，自《九章算术》以来，中国古代数学著作的编纂体例基本上都采取问题集解的方式，注重在社会政治、经济、军事、文化等方面的实际应用，故其实用性特点尤其突出。如《九章算术》所收入的246个问题，几乎全部源于中国古代社会生产与生活实践活动，同样，杨辉强调“命题须责实有”，所以他的《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》、《续古摘奇算法》及《日用算法》等算术著作，其算题亦大多贴近实际。可惜，对于这样具有较高实用价值的算书，研究南宋社会经济史的学者却极少采信杨辉算书中的相关史料与数据，相反，秦九韶《数书九章》中有关南宋社会经济方面的史料却不断被学者征引。例如，李迪的《〈数书九章〉与南宋社会经济》①及吕兴焕的《〈数书九章〉中某些问题的经济角度浅析》②等论文，都一致认为秦九韶《数书九章》具有比较重要的经济史意义。相较之下，学界对杨辉算书中的经济史价值还重视不够，故本文拟对杨辉算书的社会经济史意义略作阐释，不足之处，请方家批评指正。 一、山间坡地与田亩计量 南宋经济比较发达的地区，其人口增长与土地不足的矛盾不断升级，结果导致土地兼并恶性膨胀和苛捐杂税超过北宋的严重后果。在这种生活背景之下，大量农民被迫逃亡山区，垦山造田，以求活命。如南宋陈造在《垦山叟》一诗中称：“家家垦田日嫌窄，荒林翳荟惜虚掷。劚荒作熟不挂籍，输官之余给衣食。”③非常真实和形象地描述了南宋相对宽松的垦田政策和当时人地关系不断恶化所造成的社会后果。当时，南方的山地丘陵多被开垦为梯田，如江西袁州仰山“岭阪之上皆禾田，层层而上至顶，名梯田”④；在安徽，“徽民凿山而田，高耕入云者十半”⑤；在福建，“闽地瘠狭，层山之巅，苟可置人力，未有寻丈之地，不丘而为田。泉溜接续，自上而下，耕垦灌溉，虽不得雨，岁亦倍收。”⑥由于山田开垦受自然条件的局限性较大，人们只能因山制宜，田块多窄小，宋人甚至有“指数十级而不能为一亩”⑦的说法，所以时人给梯田起得名称很多，如“岩田”、“山田”、“箭筈田”、“雷鸣田”以及“塝田”等⑧，表明其所开垦的山田多为形状各异的小块田。 从几何学的角度看，小块田除了传统的“直田”、“圆田”、“圭田”、“邪(斜)田”、“箕田”、“宛田”、“弧田”及“环田”之外，《田亩比类乘除捷法》还出现了“牛角田”、“梭田”、“墙田”、“圭垛”、“梯桗”、“腰鼓田”、“鼓田”、“三广田”、“曲尺田”、“方箭”、“圆箭”、“箭翎田”等新的地块形状，而这些不规整的山间地块，为几何土地丈量提出了新的课题。因此，杨辉算书的显著特点之一就是为丈量上述几何田亩提供了既简便快捷又准确可靠的算法。 例一，“《台州量田图》有曲尺田，内曲十二步，外曲二十六步，两头各广七步，问田几何？答曰：一百三十三步。”解法：“内曲即梯田上阔，外曲即梯田下阔，头广即梯田之长，步术用并内外曲，得三十八步，以一头广七步乘之，折半，合问。”⑨ 实际上，这是一道梯田面积应用题，所得积为“一百三十三步”。如众所知，宋代一亩等于240步，又一步等于5尺。按宋代官尺31.68厘米计算，宋代一亩约为0.9市亩。据此算得上面的曲尺田约合0.55宋亩，经换算后约等于0.5市亩。 例二，“《台州量田图》有箭筈田(见下图)，两畔各长八步，中长四步，阔十二步。问田几何？答曰：七十二步。”解法：“倍中长，并两长，折半，以半阔乘之。”⑩ 箭筈田实为两个“半梯田”，此田面积计72步，合0.3宋亩，相当于0.27市亩。
例三，“今有梭田，中阔八步，正长十二步，问田几何？答曰：四十八步。”杨辉释：“《台州黄岩县围量田图》有梭田棣即二圭田相并。”(11) 此题有三种解法：“半长乘阔”；“半阔乘长”；“长阔相乘折半”。面积“四十八步”合0.2宋亩，相当于0.18市亩。 考索有关宋代台州史志书，如《嘉定赤城志》、清人黄瑞所辑《台州金石录》、《黄岩县志》等，虽然它们都载有台州各县的田租或亩产量，但却乏于对山区农田开发的记载，尤其缺乏对山坡地形状和田块大小的描述，而杨辉算书弥补了这个缺憾。另从上述例题中不难看出，宋代台州各地的土地利用率比较高，它甚至可与宋代福建地区“虽硗确之地，耕耨殆尽”(12)的情形相提并论。限于史料，以往宋代经济史的研究对其山地小块农田的管理研究显得较为薄弱。如果不抱偏见，那么，杨辉算书为我们进一步研究宋代东南地区山地土地和农业的开发，提供了比较有价值的史料。
